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고유벡터와 에너지 전달: 최적화 관점에서의 해석우리는 선형대수에서 왜 고유벡터를 그토록 중요하게 다룰까? 단순히 특성방정식 $\det(A-\lambda I)=0$을 풀기 위한 도구일까요?이번 글에서는 행렬 변환을 [에너지의 전달]이라는 최적화 관점에서 해석하여 고유벡터가 왜 존재해야만 하는지 그 정당성을 파헤쳐보겠습니다.1. 동기: 최적의 에너지 통로 찾기행렬 $A$를 하나의 시스템이라고 가정해 봅시다. 이 시스템에 어떤 입력($x$)을 넣었을 때 가장 강력한 출력($Ax$)이 나올까요?최적화 문제 정의$\max_{\|x\|=1} \|Ax\|$: 이 문제는 "이 시스템이 가진 가장 강력한 에너지 전달 방향은 어디인가?"라는 질문에 대한 답을 찾는 과정입니다. 입력 벡터 $x$의 길이를 1로 고정했을 때,..

1. 고유벡터, 고유값이란1. 고유벡터(Eigen Vector)어떤 행렬 A를 곱하여 선형변환을 시킨다는 것은 공간을 회전시키거나, 글리거나, 뒤트는 선형 변환을 의미합니다.여기서 공간의 모든 벡터가 이리저리 휘둘릴 때, 유독 방향이 전혀 변하지 않고 자기 자리를 지키는 벡터들이 있는데, 이들이 바로 행렬 A가 가진 고유한 축, 즉 고유벡터입니다. 2. 고유값(Eigen Value)행렬 A의 선형 변환에서 방향은 지켰지만, 그 벡터의 길이는 변할 수 있습니다.고유값은 고유벡터라는 기준축을 따라 원래보다 몇 배나 커졌는지(혹은 작아졌는지)를 나타내는 상수값입니다. 3. 예시예를 들어 3차원 공간에서 지구가 자전하는 물리적인 선형 변화(Rotation)를 하나의 행렬 A로 본다면, 지구의 자전축은 회전 중에..